3 Funkcje Trygonometryczne Sprawdzian Chomikuj

Funkcje trygonometryczne są fundamentem wielu dziedzin, od geometrii po fizykę i inżynierię. Pozwalają one opisywać i analizować relacje między kątami a bokami w trójkątach prostokątnych, co ma szerokie zastosowanie w rozwiązywaniu problemów dotyczących odległości, wysokości i kątów. Ten artykuł skupia się na trzech podstawowych funkcjach trygonometrycznych: sinusie, cosinusie i tangensie.

Podstawowe Funkcje Trygonometryczne: Definicje i Zastosowania

Zanim przejdziemy do konkretnych przykładów, zdefiniujmy te trzy funkcje trygonometryczne w kontekście trójkąta prostokątnego:

• Sinus (sin) kąta: To stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta do długości przeciwprostokątnej. Czyli: sin(α) = długość przyprostokątnej naprzeciwległej / długość przeciwprostokątnej.
• Cosinus (cos) kąta: To stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta do długości przeciwprostokątnej. Czyli: cos(α) = długość przyprostokątnej przyległej / długość przeciwprostokątnej.
• Tangens (tan) kąta: To stosunek długości przyprostokątnej naprzeciwległej do kąta do długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta. Czyli: tan(α) = długość przyprostokątnej naprzeciwległej / długość przyprostokątnej przyległej. Można to również wyrazić jako: tan(α) = sin(α) / cos(α).

Zastosowania: Funkcje trygonometryczne są używane do:

• Obliczania wysokości budynków lub drzew na podstawie kąta widzenia i odległości od podstawy.
• Określania odległości w nawigacji morskiej i lotniczej.
• Modelowania fal, oscylacji i ruchów okresowych w fizyce.
• Projektowania konstrukcji inżynierskich, takich jak mosty i dachy.

Rozwiązywanie Zadań Krok po Kroku

Przejdźmy teraz do rozwiązywania typowych zadań z użyciem funkcji trygonometrycznych. Użyjemy akronimu SOH CAH TOA, aby łatwo zapamiętać definicje: SOH (Sin Opposite Hypotenuse), CAH (Cos Adjacent Hypotenuse), TOA (Tan Opposite Adjacent).

Przykład 1: Obliczanie Wysokości Budynku

Zadanie: Stoisz 50 metrów od podstawy budynku. Kąt widzenia szczytu budynku wynosi 30 stopni. Oblicz wysokość budynku.

1. Zidentyfikuj dane: Kąt α = 30 stopni, odległość od podstawy (przyprostokątna przyległa) = 50 metrów. Szukamy wysokości budynku (przyprostokątna naprzeciwległa).
2. Wybierz odpowiednią funkcję: Potrzebujemy funkcji, która łączy przyprostokątną naprzeciwległą i przyprostokątną przyległą. To tangens (TOA).
3. Ułóż równanie: tan(30°) = wysokość / 50 metrów.
4. Oblicz tangens: tan(30°) ≈ 0.577
5. Rozwiąż równanie: 0.577 = wysokość / 50 metrów. Wysokość = 0.577 * 50 metrów ≈ 28.85 metrów.

Odpowiedź: Wysokość budynku wynosi około 28.85 metrów.

Przykład 2: Obliczanie Długości Przeciwprostokątnej

Zadanie: W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma 45 stopni, a przyprostokątna naprzeciwległa temu kątowi ma długość 10 cm. Oblicz długość przeciwprostokątnej.

1. Zidentyfikuj dane: Kąt α = 45 stopni, przyprostokątna naprzeciwległa = 10 cm. Szukamy przeciwprostokątnej.
2. Wybierz odpowiednią funkcję: Potrzebujemy funkcji, która łączy przyprostokątną naprzeciwległą i przeciwprostokątną. To sinus (SOH).
3. Ułóż równanie: sin(45°) = 10 cm / przeciwprostokątna.
4. Oblicz sinus: sin(45°) ≈ 0.707
5. Rozwiąż równanie: 0.707 = 10 cm / przeciwprostokątna. Przeciwprostokątna = 10 cm / 0.707 ≈ 14.14 cm.

Odpowiedź: Długość przeciwprostokątnej wynosi około 14.14 cm.

Przykład 3: Obliczanie Kąta

Zadanie: W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przyległa ma długość 8 cm, a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Oblicz miarę kąta przylegającego do tej przyprostokątnej.

1. Zidentyfikuj dane: Przyprostokątna przyległa = 8 cm, przeciwprostokątna = 10 cm. Szukamy kąta.
2. Wybierz odpowiednią funkcję: Potrzebujemy funkcji, która łączy przyprostokątną przyległą i przeciwprostokątną. To cosinus (CAH).
3. Ułóż równanie: cos(α) = 8 cm / 10 cm = 0.8
4. Oblicz kąt: α = arccos(0.8). Użyj kalkulatora naukowego lub tablic trygonometrycznych, aby znaleźć wartość arccos(0.8). arccos(0.8) ≈ 36.87 stopni.

Odpowiedź: Miara kąta wynosi około 36.87 stopni.

Wskazówka: Zawsze upewnij się, że Twój kalkulator jest ustawiony na stopnie (degrees) lub radiany (radians), w zależności od potrzeb zadania.

Podsumowanie

Funkcje trygonometryczne sinus, cosinus i tangens są potężnym narzędziem do rozwiązywania problemów związanych z trójkątami prostokątnymi. Pamiętając definicje (SOH CAH TOA) i korzystając z kalkulatora naukowego, można z łatwością obliczać brakujące długości boków i kąty. Regularne ćwiczenia z różnymi typami zadań pomogą Ci w pełni opanować te funkcje.

Praktyka czyni mistrza! Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej będziesz posługiwał się funkcjami trygonometrycznymi.