1.2 Wypisz Elementy Zbioru Opisanego W Nastepujacy Sposob

Wypisanie elementów zbioru opisanego w sposób formalny może wydawać się trudne na pierwszy rzut oka, ale w rzeczywistości sprowadza się do systematycznego rozważania poszczególnych warunków i generowania elementów, które te warunki spełniają. Ważne jest, aby dokładnie zrozumieć notację matematyczną, zanim przejdziemy do konkretnych przykładów. Często zbiory są definiowane za pomocą kwantyfikatorów, predykatów i operatorów logicznych.
Rozważmy zbiór A zdefiniowany jako: A = {x ∈ ℕ : x jest liczbą parzystą i x < 10}. Aby wypisać elementy tego zbioru, musimy rozważyć wszystkie liczby naturalne (ℕ) mniejsze od 10, a następnie wybrać te, które są parzyste. Liczby naturalne mniejsze od 10 to: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Spośród nich liczby parzyste to: 0, 2, 4, 6, 8. Zatem A = {0, 2, 4, 6, 8}.
Inny przykład: B = {y ∈ ℤ : -3 ≤ y < 5}. Tutaj mamy do czynienia z liczbami całkowitymi (ℤ). Musimy znaleźć wszystkie liczby całkowite, które są większe lub równe -3 i jednocześnie mniejsze od 5. Zatem B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}.
Kolejny przykład, który wprowadza pewne operacje: C = {z ∈ ℚ : z = 1/n, n ∈ ℕ, n ≤ 4}. Zbiór C zawiera liczby wymierne (ℚ), które można przedstawić jako 1/n, gdzie n jest liczbą naturalną nie większą niż 4. Zatem n może przyjmować wartości 1, 2, 3, 4. W konsekwencji, z może przyjmować wartości: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4. Zatem C = {1, 1/2, 1/3, 1/4}.
Zbiór D zdefiniowany jako: D = {(x, y) ∈ ℕ x ℕ : x + y = 5}. W tym przypadku mamy do czynienia z parami liczb naturalnych (x, y), których suma wynosi 5. Musimy znaleźć wszystkie możliwe kombinacje liczb naturalnych, które spełniają to równanie. Rozważmy możliwe wartości x:
- Jeśli x = 0, to y = 5.
- Jeśli x = 1, to y = 4.
- Jeśli x = 2, to y = 3.
- Jeśli x = 3, to y = 2.
- Jeśli x = 4, to y = 1.
- Jeśli x = 5, to y = 0.
Zatem D = {(0, 5), (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1), (5, 0)}.
Czasami zbiory mogą być zdefiniowane w bardziej skomplikowany sposób, używając kwadratów lub innych funkcji. Rozważmy zbiór E = {x² : x ∈ ℤ, -2 ≤ x ≤ 2}. Tutaj musimy podnieść do kwadratu każdą liczbę całkowitą od -2 do 2. Liczby całkowite w tym zakresie to: -2, -1, 0, 1, 2. Podnosząc je do kwadratu, otrzymujemy:
- (-2)² = 4
- (-1)² = 1
- 0² = 0
- 1² = 1
- 2² = 4
Zatem E = {0, 1, 4}. Zauważ, że powtarzające się elementy (1 i 4) są zapisywane tylko raz w zbiorze.
Zbiory mogą również być definiowane rekurencyjnie. Na przykład, rozważmy zbiór F zdefiniowany w następujący sposób:
- 1 ∈ F
- Jeśli x ∈ F, to x + 2 ∈ F
- Nic więcej nie należy do F.
Aby wypisać kilka elementów tego zbioru, zaczynamy od 1 (pierwszy warunek). Następnie, jeśli x ∈ F, to x + 2 ∈ F. Zatem:
- 1 ∈ F
- 1 + 2 = 3 ∈ F
- 3 + 2 = 5 ∈ F
- 5 + 2 = 7 ∈ F
- itd.
Zatem F = {1, 3, 5, 7, 9, ...}. Zbiór F to zbiór wszystkich liczb nieparzystych większych lub równych 1.
Zbiory Zdefiniowane za Pomocą Warunków Logicznych
Rozważmy zbiór G zdefiniowany jako: G = {x ∈ ℕ : (x > 5) ∧ (x < 10)}. Tutaj używamy koniunkcji (∧), która oznacza "i". Musimy znaleźć wszystkie liczby naturalne, które są jednocześnie większe od 5 i mniejsze od 10. Liczby naturalne spełniające ten warunek to: 6, 7, 8, 9. Zatem G = {6, 7, 8, 9}.
Kolejny przykład, używający alternatywy (∨), która oznacza "lub": H = {x ∈ ℤ : (x < -2) ∨ (x > 2)}. Musimy znaleźć wszystkie liczby całkowite, które są mniejsze od -2 lub większe od 2. Zatem H = {..., -5, -4, -3} ∪ {3, 4, 5, ...}. Formalnie, można to zapisać jako H = {x ∈ ℤ : |x| > 2}.
Zbiór I zdefiniowany jako: I = {x ∈ ℝ : x² - 5x + 6 = 0}. Musimy znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste (ℝ), które są rozwiązaniami równania kwadratowego x² - 5x + 6 = 0. Rozwiązujemy to równanie:
x² - 5x + 6 = 0 (x - 2)(x - 3) = 0 x = 2 lub x = 3
Zatem I = {2, 3}.
Zbiór J zdefiniowany jako: J = {x ∈ ℕ : x jest dzielnikiem liczby 12}. Musimy znaleźć wszystkie liczby naturalne, które dzielą liczbę 12 bez reszty. Dzielniki liczby 12 to: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Zatem J = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.
Rozważmy zbiór K zdefiniowany jako: K = {x ∈ ℕ : x jest liczbą pierwszą i x < 20}. Musimy znaleźć wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 20. Liczby pierwsze mniejsze od 20 to: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19. Zatem K = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.
Zbiór L zdefiniowany jako: L = {x ∈ ℤ : x = 2k + 1, k ∈ ℤ, -3 ≤ k ≤ 3}. Tutaj mamy do czynienia z liczbami całkowitymi, które można przedstawić jako 2k + 1, gdzie k jest liczbą całkowitą w zakresie od -3 do 3. Rozważmy możliwe wartości k:
- k = -3, x = 2(-3) + 1 = -5
- k = -2, x = 2(-2) + 1 = -3
- k = -1, x = 2(-1) + 1 = -1
- k = 0, x = 2(0) + 1 = 1
- k = 1, x = 2(1) + 1 = 3
- k = 2, x = 2(2) + 1 = 5
- k = 3, x = 2(3) + 1 = 7
Zatem L = {-5, -3, -1, 1, 3, 5, 7}.
Ważne jest, aby pamiętać, że kolejność elementów w zbiorze nie ma znaczenia i że powtarzające się elementy są zapisywane tylko raz. Precyzyjne zrozumienie definicji zbioru i systematyczne rozważanie każdego warunku prowadzi do poprawnego wypisania jego elementów.









Podobne artykuły, które mogą Cię zainteresować
- Mnożenie Ułamków Dziesiętnych Przez Liczby Naturalne
- Na Rysunku Przedstawiono Fragment Wykresu Funkcji Kwadratowej F
- Czy Ciąg Jest Ciągiem Geometrycznym Określ Jego Monotoniczność
- Sprawdzian Z Języka Polskiego Klasa 5 Rozdział 2 Nowa Era
- Geometryczny środek Polski Znajduje Się W Miejscowości
- Korzystając Z Atlasu Geograficznego Wpisz W Odpowiednie Miejsca Tabeli Nazwy
- Decyzja O Przymusowym Wysiedleniu Wszystkich Niemców Z Terenów Czechosłowacji
- Wyjaśnij Co To Znaczy że Ciepło Właściwe Ołowiu Wynosi 130
- Biologia Na Czasie 1 Zakres Rozszerzony E Podręcznik Pdf
- Sprawdzian Z Matematyki Klasa 6 Prędkość Droga Czas