Wykaz Ze Liczba 4 Pierwiastek 3 Sprawdzian

Matematyka potrafi czasem sprawić wrażenie skomplikowanej, prawda? Ale obiecuję, że dzisiaj rozwiejemy wszelkie wątpliwości dotyczące liczb niewymiernych. Zajmiemy się konkretnym przykładem: "wykaż, że liczba 4√3 jest niewymierna".

Czym jest liczba niewymierna?

Zacznijmy od podstaw. Liczba wymierna to taka, którą można zapisać jako ułamek zwykły, czyli w postaci a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera. Na przykład, 2/3, -5/7, 1 (bo to 1/1), a nawet 0.5 (bo to 1/2) są liczbami wymiernymi. Możemy je dokładnie zapisać.

Liczba niewymierna to taka, której *nie* da się zapisać w postaci ułamka zwykłego. Jej rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone i nieokresowe – nie powtarza się żaden wzór cyfr. Przykładem jest liczba π (pi), czyli stosunek obwodu koła do jego średnicy. Widzimy więc, że istnieje cała gama liczb, których nie jesteśmy w stanie idealnie przedstawić jako ułamek. Wykorzystamy fakt, że niektóre liczby są niewymierne, aby dowieść inne.

Dowód nie wprost

Użyjemy metody dowodu nie wprost. Zakładamy, że coś jest prawdą, a następnie pokazujemy, że to założenie prowadzi do sprzeczności. To udowadnia, że nasze początkowe założenie było fałszywe.

Załóżmy, że 4√3 jest liczbą wymierną. Oznacza to, że możemy ją zapisać jako ułamek a/b, gdzie a i b są liczbami całkowitymi, a b jest różne od zera.

Zatem: 4√3 = a/b

Dalsze kroki dowodu

Podzielmy obie strony równania przez 4: √3 = a / (4b). Zauważmy, że a jest liczbą całkowitą, a b jest liczbą całkowitą. To oznacza, że 4b również jest liczbą całkowitą. Zatem a/(4b) jest ułamkiem dwóch liczb całkowitych! Innymi słowy, a/(4b) jest liczbą wymierną.

Otrzymaliśmy, że √3 jest równe liczbie wymiernej (a/(4b)). Ale wiemy (lub powinniśmy wiedzieć!), że √3 jest liczbą niewymierną. Mamy więc sprzeczność. Doszliśmy do czegoś, co nie może być prawdą, jeśli nasze założenie było prawdziwe.

Ponieważ nasze założenie doprowadziło do sprzeczności, było ono fałszywe. To znaczy, że liczba 4√3 nie jest liczbą wymierną. A zatem jest liczbą niewymierną.

Q.E.D. (quod erat demonstrandum) – co było do udowodnienia.