Wszystkie Wzory Matematyczne 8 Klasa

Witaj w przewodniku po najważniejszych wzorach matematycznych, które powinieneś znać w ósmej klasie! Ósma klasa to kluczowy moment w edukacji matematycznej. Zdobyta wiedza będzie fundamentem dla dalszej nauki w szkole średniej. Zrozumienie i umiejętność stosowania tych wzorów pozwoli Ci rozwiązywać problemy, analizować sytuacje i logicznie myśleć.

Potęgi i Pierwiastki

Zacznijmy od potęg i pierwiastków. To działy, które pojawiają się bardzo często, dlatego warto je dobrze opanować.

Potęgi

Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez samą siebie. Na przykład, zamiast pisać 2 * 2 * 2 * 2, możemy zapisać to jako 2⁴, gdzie 2 to podstawa potęgi, a 4 to wykładnik.

Wzory na potęgi, które musisz znać:

• aⁿ * a^m = a^n+m (Mnożenie potęg o tej samej podstawie: dodajemy wykładniki)

  Przykład: 2³ * 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32

• aⁿ / a^m = a^n-m (Dzielenie potęg o tej samej podstawie: odejmujemy wykładniki)

  Przykład: 3⁵ / 3² = 3^5-2 = 3³ = 27

• (aⁿ)^m = a^n*m (Potęgowanie potęgi: mnożymy wykładniki)

  Przykład: (5²)³ = 5^2*3 = 5⁶ = 15625

• (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ (Potęgowanie iloczynu: potęgujemy każdy czynnik osobno)

  Przykład: (2 * 3)² = 2² * 3² = 4 * 9 = 36

• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (Potęgowanie ilorazu: potęgujemy licznik i mianownik osobno)

  Przykład: (4 / 2)³ = 4³ / 2³ = 64 / 8 = 8

• a⁰ = 1 (Każda liczba podniesiona do potęgi 0 daje 1, pod warunkiem, że a ≠ 0)

  Przykład: 7⁰ = 1

• a^-n = 1 / aⁿ (Potęga o wykładniku ujemnym)

  Przykład: 2^-3 = 1 / 2³ = 1 / 8

Pierwiastki

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby a, oznaczony jako √a, to liczba, która podniesiona do kwadratu da liczbę a. Podobnie, pierwiastek sześcienny z liczby a, oznaczony jako ³√a, to liczba, która podniesiona do trzeciej potęgi da liczbę a.

Wzory na pierwiastki, które musisz znać:

• √(a * b) = √a * √b (Pierwiastek z iloczynu)

  Przykład: √(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6

• √(a / b) = √a / √b (Pierwiastek z ilorazu)

  Przykład: √(16 / 4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2

• ⁿ√(a * b) = ⁿ√a * ⁿ√b (Pierwiastek n-tego stopnia z iloczynu)

  Przykład: ³√(8 * 27) = ³√8 * ³√27 = 2 * 3 = 6

• ⁿ√(a / b) = ⁿ√a / ⁿ√b (Pierwiastek n-tego stopnia z ilorazu)

  Przykład: ³√(64 / 8) = ³√64 / ³√8 = 4 / 2 = 2

Wzory Skróconego Mnożenia

Wzory skróconego mnożenia to bardzo przydatne narzędzia do szybkiego przekształcania wyrażeń algebraicznych. Pozwalają unikać żmudnych obliczeń i skracają czas rozwiązywania zadań.

Oto najważniejsze wzory skróconego mnożenia:

• (a + b)² = a² + 2ab + b² (Kwadrat sumy)

  Przykład: (x + 3)² = x² + 2 * x * 3 + 3² = x² + 6x + 9

• (a - b)² = a² - 2ab + b² (Kwadrat różnicy)

  Przykład: (y - 2)² = y² - 2 * y * 2 + 2² = y² - 4y + 4

• a² - b² = (a + b)(a - b) (Różnica kwadratów)

  Przykład: x² - 16 = (x + 4)(x - 4)

• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ (Sześcian sumy)

  Przykład: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1

• (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ (Sześcian różnicy)

  Przykład: (x - 2)³ = x³ - 6x² + 12x - 8

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²) (Suma sześcianów)
• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²) (Różnica sześcianów)

Równania i Nierówności

Rozwiązywanie równań i nierówności to umiejętność, która przydaje się nie tylko w matematyce, ale i w życiu codziennym. Uczysz się, jak znaleźć niewiadomą wartość, która spełnia dany warunek.

Równanie liniowe ma postać ax + b = 0, gdzie x to niewiadoma, a a i b to współczynniki. Rozwiązaniem jest x = -b/a.

Nierówności liniowe rozwiązuje się podobnie jak równania, z tą różnicą, że zamiast znaku równości mamy znaki nierówności (<, >, ≤, ≥). Pamiętaj, że mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, musisz zmienić znak nierówności na przeciwny!

Geometria

Geometria w ósmej klasie to dalsze poznawanie własności figur płaskich i przestrzennych.

Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to fundamentalne twierdzenie w geometrii euklidesowej, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej (a² + b² = c²).

Pola i Obwody

Musisz znać wzory na pola i obwody podstawowych figur geometrycznych:

• Kwadrat: Pole = a², Obwód = 4a
• Prostokąt: Pole = a * b, Obwód = 2a + 2b
• Trójkąt: Pole = 1/2 * a * h, Obwód = a + b + c
• Równoległobok: Pole = a * h, Obwód = 2a + 2b
• Trapez: Pole = 1/2 * (a + b) * h, Obwód = a + b + c + d
• Koło: Pole = πr², Obwód = 2πr

Gdzie a i b oznaczają długości boków, h to wysokość, r to promień koła, a π (pi) to stała matematyczna w przybliżeniu równa 3.14.

Pamiętaj, aby regularnie ćwiczyć rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem tych wzorów. Im więcej będziesz praktykował, tym lepiej je zapamiętasz i zrozumiesz! Powodzenia!