Sprawdzian Z Matematyki Funkcja Kwadratowa
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax2 + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i a ≠ 0. Kluczowe jest, że a musi być różne od zera, inaczej funkcja redukuje się do funkcji liniowej.
Współczynniki a, b, c determinują kształt i położenie paraboli, która jest graficznym przedstawieniem funkcji kwadratowej. Współczynnik a odpowiada za kierunek otwarcia ramion paraboli: jeśli a > 0, ramiona są skierowane do góry (parabola jest "uśmiechnięta"), a jeśli a < 0, ramiona są skierowane do dołu (parabola jest "smutna").
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to f(x) = a(x - p)2 + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli. Wierzchołek jest punktem, w którym funkcja osiąga minimum (gdy a > 0) lub maksimum (gdy a < 0).
Postać iloczynowa (jeśli istnieje) to f(x) = a(x - x1)(x - x2), gdzie x1 i x2 to miejsca zerowe funkcji kwadratowej, czyli wartości x, dla których f(x) = 0. Miejsca zerowe to punkty, w których parabola przecina oś x.
Przykład 1: Funkcja f(x) = x2 - 4 ma postać iloczynową f(x) = (x - 2)(x + 2), zatem jej miejsca zerowe to x = 2 i x = -2. Przykład 2: Funkcja f(x) = (x - 1)2 + 2 jest w postaci kanonicznej. Jej wierzchołek to punkt (1, 2) i nie ma miejsc zerowych.
Zastosowanie funkcji kwadratowej jest bardzo szerokie. Można jej użyć do modelowania trajektorii lotu pocisku, obliczania pola powierzchni figury geometrycznej (np. okręgu po przekształceniu wzoru), czy optymalizacji procesów (np. znalezienia maksymalnego zysku).
