Sprawdzian Funkcja Liniowa Liceum Nowa Era

Sprawdzian Funkcja Liniowa w kontekście liceum Nowa Era, to test sprawdzający wiedzę i umiejętności ucznia związane z funkcją liniową. Obejmuje on zagadnienia takie jak definicja funkcji liniowej, jej wykres, obliczanie współczynników, interpretacja graficzna oraz zastosowania w zadaniach.

Definicja Funkcji Liniowej

Funkcja liniowa to funkcja postaci f(x) = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, a b – wyrazem wolnym. Kluczowe jest zrozumienie, że wykres funkcji liniowej jest linią prostą.

Przykład: f(x) = 2x + 3 jest funkcją liniową. a = 2 (współczynnik kierunkowy), b = 3 (wyraz wolny).

Wykres Funkcji Liniowej

Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczą dwa punkty. Najprościej obliczyć wartości funkcji dla x = 0 i x = 1. Następnie zaznaczamy te punkty w układzie współrzędnych i rysujemy przez nie prostą.

Przykład: Dla funkcji f(x) = -x + 1, obliczamy: f(0) = 1 i f(1) = 0. Zatem, rysujemy prostą przechodzącą przez punkty (0, 1) i (1, 0).

Współczynnik Kierunkowy (a)

Współczynnik kierunkowy a informuje nas o nachyleniu prostej. Jeżeli a > 0, funkcja jest rosnąca. Jeżeli a < 0, funkcja jest malejąca. Jeżeli a = 0, funkcja jest stała (linia pozioma).

Przykład: W funkcji f(x) = 3x - 2, a = 3, więc funkcja jest rosnąca.

Wyraz Wolny (b)

Wyraz wolny b to punkt, w którym prosta przecina oś Y. Inaczej mówiąc, jest to wartość funkcji dla x = 0.

Przykład: W funkcji f(x) = x + 5, b = 5, więc prosta przecina oś Y w punkcie (0, 5).

Równanie Prostej Przechodzącej Przez Dwa Punkty

Mając dane dwa punkty (x1, y1) i (x2, y2), możemy znaleźć równanie prostej przechodzącej przez te punkty. Wzór na współczynnik kierunkowy to: a = (y2 - y1) / (x2 - x1). Następnie, mając a, podstawiamy współrzędne jednego z punktów do równania y = ax + b i obliczamy b.

Przykład: Punkty (1, 2) i (3, 4). a = (4 - 2) / (3 - 1) = 1. Podstawiamy (1, 2) do y = x + b, czyli 2 = 1 + b, więc b = 1. Równanie prostej to f(x) = x + 1.

Zastosowania Funkcji Liniowej

Funkcja liniowa ma wiele praktycznych zastosowań. Można ją wykorzystać do modelowania zależności liniowych, np. koszt całkowity jako suma kosztu stałego i kosztu zmiennego zależnego od ilości. Innym przykładem jest obliczanie drogi w ruchu jednostajnym, gdzie prędkość jest stała.

Przykład 1: Koszt produkcji x sztuk produktu wynosi 10 zł za sztukę plus 50 zł kosztów stałych. Funkcja kosztów to K(x) = 10x + 50.

Przykład 2: Samochód jedzie ze stałą prędkością 80 km/h. Droga s pokonana w czasie t wyraża się wzorem s(t) = 80t.