Sprawdz Czy Trójkat O Podanych Bokach Jest Prostokatny

Mamy trzy liczby. Powiedzmy, że to a, b i c. Chcemy wiedzieć, czy te liczby mogą reprezentować długości boków trójkąta prostokątnego. Zazwyczaj zakładamy, że c jest najdłuższą z tych liczb, ale nie zawsze musi tak być.

Najpierw sprawdźmy, czy w ogóle możemy zbudować trójkąt z tych boków. Musimy sprawdzić trzy warunki:

a + b > c
a + c > b
b + c > a

Jeśli którykolwiek z tych warunków nie jest spełniony, to znaczy, że trójkąt nie może powstać. Przykładowo, jeśli a = 1, b = 2, a c = 5, to a + b = 3, co nie jest większe od c = 5. W takim przypadku nie zbudujemy trójkąta.

Załóżmy, że te warunki są spełnione. Teraz przechodzimy do sedna sprawy – sprawdzamy, czy trójkąt jest prostokątny. Tutaj wkracza twierdzenie Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa w Praktyce

Pamiętamy, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości krótszych boków (przyprostokątnych) jest równa kwadratowi długości najdłuższego boku (przeciwprostokątnej). Czyli, jeśli a i b są przyprostokątnymi, a c jest przeciwprostokątną, to:

a² + b² = c²

Aby sprawdzić, czy trójkąt o bokach a, b i c jest prostokątny, musimy najpierw ustalić, który bok jest potencjalną przeciwprostokątną. To ten najdłuższy. Oznaczmy go jako c (jeśli już tak nie jest, to po prostu zamieńmy oznaczenia).

Następnie obliczamy a² + b² i c². Jeśli te wartości są równe, to trójkąt jest prostokątny. Jeśli nie są równe, to trójkąt nie jest prostokątny.

Przykłady Działają Najlepiej

Przykład 1: Boki 3, 4, 5
- a = 3, b = 4, c = 5
- Sprawdzamy warunki trójkąta:
  - 3 + 4 > 5 (7 > 5) - Prawda
  - 3 + 5 > 4 (8 > 4) - Prawda
  - 4 + 5 > 3 (9 > 3) - Prawda
- Obliczamy:
  - a² + b² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
  - c² = 5² = 25
- a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.
Przykład 2: Boki 2, 3, 4
- a = 2, b = 3, c = 4
- Sprawdzamy warunki trójkąta:
  - 2 + 3 > 4 (5 > 4) - Prawda
  - 2 + 4 > 3 (6 > 3) - Prawda
  - 3 + 4 > 2 (7 > 2) - Prawda
- Obliczamy:
  - a² + b² = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
  - c² = 4² = 16
- a² + b² ≠ c², więc trójkąt nie jest prostokątny.
Przykład 3: Boki 5, 12, 13
- a = 5, b = 12, c = 13
- Sprawdzamy warunki trójkąta:
  - 5 + 12 > 13 (17 > 13) - Prawda
  - 5 + 13 > 12 (18 > 12) - Prawda
  - 12 + 13 > 5 (25 > 5) - Prawda
- Obliczamy:
  - a² + b² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
  - c² = 13² = 169
- a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.
Przykład 4: Boki 1, 1, √2
- a = 1, b = 1, c = √2 (około 1.41)
- Sprawdzamy warunki trójkąta:
  - 1 + 1 > √2 (2 > 1.41) - Prawda
  - 1 + √2 > 1 (2.41 > 1) - Prawda
  - 1 + √2 > 1 (2.41 > 1) - Prawda
- Obliczamy:
  - a² + b² = 1² + 1² = 1 + 1 = 2
  - c² = (√2)² = 2
- a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.
Przykład 5: Boki 7, 24, 25
- a = 7, b = 24, c = 25
- Sprawdzamy warunki trójkąta:
  - 7 + 24 > 25 (31 > 25) - Prawda
  - 7 + 25 > 24 (32 > 24) - Prawda
  - 24 + 25 > 7 (49 > 7) - Prawda
- Obliczamy:
  - a² + b² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625
  - c² = 25² = 625
- a² + b² = c², więc trójkąt jest prostokątny.

Co, Jeśli Kolejność Boków Jest Inna?

Jeśli nie wiemy, który bok jest najdłuższy, musimy sprawdzić wszystkie trzy możliwości. Załóżmy, że mamy boki x, y i z. Wtedy sprawdzamy:

Czy x² + y² = z²
Czy x² + z² = y²
Czy y² + z² = x²

Jeśli któraś z tych równości jest prawdziwa, to trójkąt jest prostokątny.

Uważaj na Błędy Zaokrągleń

Podczas obliczeń z liczbami zmiennoprzecinkowymi (np. z pierwiastkami) mogą wystąpić błędy zaokrągleń. Dlatego zamiast sprawdzać dokładną równość a² + b² = c², możemy sprawdzać, czy różnica między tymi wartościami jest "wystarczająco mała". Na przykład:

abs((a² + b²) - c²) < epsilon

gdzie epsilon jest małą liczbą (np. 0.00001). Pozwala to uwzględnić niewielkie odchylenia spowodowane błędami zaokrągleń.

Podsumowanie

Aby sprawdzić, czy trójkąt o podanych bokach jest prostokątny:

Upewnij się, że z tych boków w ogóle można zbudować trójkąt.
Znajdź najdłuższy bok (potencjalną przeciwprostokątną).
Oblicz sumę kwadratów dwóch krótszych boków oraz kwadrat najdłuższego boku.
Porównaj te wartości. Jeśli są równe (lub "wystarczająco bliskie" z powodu błędów zaokrągleń), to trójkąt jest prostokątny. W przeciwnym razie nie jest.
Jeżeli nie wiadomo który bok jest najdłuższy, należy sprawdzić wszystkie kombinacje.