Potęgi I Pierwiastki Zadania Klasa 8

Hej ósmoklasisto! Przed tobą powtórka z potęg i pierwiastków. Spokojnie, damy radę! Pamiętaj, kluczem do sukcesu jest zrozumienie zasad i regularne ćwiczenia. Ten przewodnik pomoże Ci usystematyzować wiedzę i przygotować się do sprawdzianu. Zaczynamy!

Potęgi: Wprowadzenie

Zacznijmy od podstaw. Potęga to skrócony zapis mnożenia tej samej liczby przez siebie. Na przykład, zamiast pisać 2 * 2 * 2 * 2 * 2, możemy zapisać to jako 2⁵.

W wyrażeniu aⁿ:

• a to podstawa potęgi (liczba, którą mnożymy).
• n to wykładnik potęgi (ile razy mnożymy podstawę przez siebie).

Pamiętaj o kilku ważnych przypadkach:

• a¹ = a (dowolna liczba podniesiona do potęgi pierwszej to ta sama liczba). Na przykład: 5¹ = 5.
• a⁰ = 1 (dowolna liczba (oprócz 0) podniesiona do potęgi zerowej to 1). Na przykład: 7⁰ = 1.

Działania na potęgach o tej samej podstawie

To tutaj zaczyna się robić ciekawiej! Zapamiętaj te wzory – bardzo się przydadzą:

• Mnożenie potęg o tej samej podstawie: a^m * aⁿ = a^m+n. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki. Przykład: 2³ * 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32.
• Dzielenie potęg o tej samej podstawie: a^m / aⁿ = a^m-n. Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki. Przykład: 5⁵ / 5² = 5^5-2 = 5³ = 125.

WAŻNE! Te wzory działają tylko wtedy, gdy potęgi mają tę samą podstawę!

Potęga potęgi

Kolejny ważny wzór: (a^m)ⁿ = a^m*n. Podnosząc potęgę do potęgi, mnożymy wykładniki. Przykład: (3²)³ = 3^2*3 = 3⁶ = 729.

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

Jeszcze dwa wzory do zapamiętania:

• (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ. Potęgując iloczyn, potęgujemy każdy czynnik oddzielnie. Przykład: (2 * 3)² = 2² * 3² = 4 * 9 = 36.
• (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ. Potęgując iloraz, potęgujemy licznik i mianownik oddzielnie. Przykład: (4 / 2)³ = 4³ / 2³ = 64 / 8 = 8.

Potęgi o wykładniku ujemnym i ułamkowym

Potęga o wykładniku ujemnym: a^-n = 1 / aⁿ. Potęga o ujemnym wykładniku to odwrotność potęgi o wykładniku dodatnim. Przykład: 2^-3 = 1 / 2³ = 1 / 8.

Potęga o wykładniku ułamkowym: a^m/n = ⁿ√a^m. Potęga o wykładniku ułamkowym to pierwiastek. Przykład: 4^1/2 = √4 = 2. 8^2/3 = ³√8² = ³√64 = 4.

Pierwiastki: Wprowadzenie

Pierwiastek to działanie odwrotne do potęgowania. Pierwiastek kwadratowy z liczby a, oznaczany jako √a, to taka liczba b, że b² = a.

Podobnie, pierwiastek trzeciego stopnia (pierwiastek sześcienny) z liczby a, oznaczany jako ³√a, to taka liczba b, że b³ = a.

Na przykład: √9 = 3, ponieważ 3² = 9. ³√8 = 2, ponieważ 2³ = 8.

Działania na pierwiastkach

Podobnie jak z potęgami, istnieją wzory ułatwiające działania na pierwiastkach:

• √(a * b) = √a * √b (Pierwiastek z iloczynu to iloczyn pierwiastków, o ile a i b są nieujemne). Przykład: √(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6.
• √(a / b) = √a / √b (Pierwiastek z ilorazu to iloraz pierwiastków, o ile a jest nieujemne, a b jest dodatnie). Przykład: √(16 / 4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 2.

Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka

To umiejętność, która bardzo się przydaje przy upraszczaniu wyrażeń. Szukamy czynnika, który jest kwadratem liczby i możemy go "wyciągnąć" przed pierwiastek.

Przykład: √12 = √(4 * 3) = √4 * √3 = 2√3.

Włączanie czynnika pod znak pierwiastka

Proces odwrotny do wyłączania czynnika. Podnosimy liczbę przed pierwiastkiem do potęgi równej stopniowi pierwiastka i włączamy ją pod pierwiastek.

Przykład: 3√2 = √(3² * 2) = √(9 * 2) = √18.

Przykładowe Zadania

Rozwiążmy kilka przykładowych zadań, żeby utrwalić wiedzę:

1. Uprość wyrażenie: (3⁴ * 3^-2) / 3³

Rozwiązanie: (3⁴ * 3^-2) / 3³ = 3^4+(-2) / 3³ = 3² / 3³ = 3^2-3 = 3^-1 = 1/3.

2. Oblicz: √72 + √8 - √50

Rozwiązanie: √72 + √8 - √50 = √(36*2) + √(4*2) - √(25*2) = 6√2 + 2√2 - 5√2 = (6+2-5)√2 = 3√2.

3. Oblicz: (√3 + 2)²

Rozwiązanie: (√3 + 2)² = (√3)² + 2 * √3 * 2 + 2² = 3 + 4√3 + 4 = 7 + 4√3.

Podsumowanie

Gratulacje! Przeszliśmy przez najważniejsze zagadnienia dotyczące potęg i pierwiastków. Pamiętaj, żeby:

• Znał definicje potęgi i pierwiastka.
• Rozumiał i potrafił stosować wzory na działania na potęgach.
• Umiał operować na potęgach o wykładniku ujemnym i ułamkowym.
• Potrafił wykonywać działania na pierwiastkach.
• Umiał wyłączać czynnik przed znak pierwiastka i włączać czynnik pod znak pierwiastka.

Powodzenia na sprawdzianie! Pamiętaj, ćwiczenie czyni mistrza! Jeśli masz jakieś pytania, śmiało pytaj nauczyciela lub poszukaj dodatkowych materiałów online. Dasz radę!