Funkcja Kwadratowa Sprawdzian 2 Technikum

Funkcja kwadratowa, zwana też funkcją stopnia drugiego, to funkcja matematyczna postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b i c to stałe liczby rzeczywiste, a a ≠ 0. Poznanie jej właściwości i umiejętność rozwiązywania zadań z nią związanych jest kluczowe, szczególnie na sprawdzianie w Technikum.

Wyznaczanie miejsc zerowych

Pierwszym krokiem często jest znalezienie miejsc zerowych funkcji kwadratowej, czyli wartości x, dla których f(x) = 0. Robimy to rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0. Najpopularniejszą metodą jest obliczenie delty (Δ):

Δ = b² - 4ac

Następnie analizujemy deltę:

• Δ > 0: Dwa różne miejsca zerowe: x₁ = (-b - √Δ) / 2a, x₂ = (-b + √Δ) / 2a
• Δ = 0: Jedno miejsce zerowe (podwójne): x = -b / 2a
• Δ < 0: Brak miejsc zerowych w zbiorze liczb rzeczywistych.

Przykład: Znajdź miejsca zerowe funkcji f(x) = x² - 5x + 6

a = 1, b = -5, c = 6

Δ = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 25 - 24 = 1

Δ > 0, więc mamy dwa miejsca zerowe:

x₁ = (5 - √1) / 2 = (5 - 1) / 2 = 2

x₂ = (5 + √1) / 2 = (5 + 1) / 2 = 3

Zatem miejsca zerowe to x = 2 i x = 3.

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcję kwadratową można zapisać w postaci kanonicznej: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to współrzędne wierzchołka paraboli.

p = -b / 2a

q = -Δ / 4a

Przykład: Przekształć funkcję f(x) = x² - 4x + 3 do postaci kanonicznej.

a = 1, b = -4, c = 3

p = -(-4) / (2 * 1) = 2

Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 16 - 12 = 4

q = -4 / (4 * 1) = -1

Postać kanoniczna: f(x) = (x - 2)² - 1

Wierzchołek paraboli to (2, -1).

Własności funkcji kwadratowej

Znak współczynnika a decyduje o tym, czy parabola ma ramiona skierowane w górę (a > 0) czy w dół (a < 0).

Wierzchołek paraboli to punkt, w którym funkcja przyjmuje wartość minimalną (dla a > 0) lub maksymalną (dla a < 0).

Zastosowania

Funkcja kwadratowa ma wiele zastosowań praktycznych. Jednym z nich jest modelowanie toru lotu pocisków lub piłki. Innym przykładem jest optymalizacja powierzchni prostokąta o danym obwodzie – szukamy wymiarów, dla których pole jest największe. Umiejętność analizy funkcji kwadratowej pozwala rozwiązywać problemy optymalizacyjne w wielu dziedzinach.