Funkcja Kwadratowa Sprawdzian 1 Technikum

Funkcja kwadratowa to funkcja postaci f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są stałymi, a a ≠ 0. Jej wykres to parabola.

Kluczowe aspekty funkcji kwadratowej obejmują:

• Współczynnik a: Decyduje o kierunku ramion paraboli. Jeśli a > 0, ramiona są skierowane do góry; jeśli a < 0, ramiona są skierowane w dół. Określa również "szerokość" paraboli - im większa wartość bezwzględna a, tym węższa parabola.
• Wierzchołek paraboli (p, q): Jest to punkt, w którym funkcja osiąga wartość minimalną (jeśli a > 0) lub maksymalną (jeśli a < 0). Współrzędne wierzchołka można obliczyć ze wzorów: p = -b / 2a oraz q = f(p).
• Miejsca zerowe: Są to wartości x, dla których f(x) = 0. Można je znaleźć rozwiązując równanie kwadratowe ax² + bx + c = 0, np. za pomocą delty (Δ) i wzorów na pierwiastki: x₁ = (-b - √Δ) / 2a i x₂ = (-b + √Δ) / 2a, gdzie Δ = b² - 4ac. Jeżeli Δ < 0, funkcja nie ma miejsc zerowych.
• Postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)² + q, gdzie (p, q) to wierzchołek paraboli.
• Postać iloczynowa: f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), gdzie x₁ i x₂ to miejsca zerowe. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy funkcja ma miejsca zerowe.

Przykład 1: f(x) = x² - 4x + 3. Współczynnik a = 1 (ramiona do góry). Obliczamy deltę: Δ = (-4)² - 4 * 1 * 3 = 4. Miejsca zerowe: x₁ = 1, x₂ = 3. Wierzchołek: p = 2, q = -1.

Przykład 2: f(x) = -x² + 2x - 2. Współczynnik a = -1 (ramiona w dół). Delta: Δ = 2² - 4 * (-1) * (-2) = -4. Brak miejsc zerowych.

Funkcja kwadratowa znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach, np. w fizyce (tor pocisku), ekonomii (modelowanie kosztów i zysków) oraz inżynierii (projektowanie mostów).